Baumann pochodził z Poznania i w tamtejszej Posnanii zaczynał przygodę z kajakami. W 2004 roku przeniósł się do Zawiszy Bydgoszcz.
Dwukrotnie brał udział w igrzyskach olimpijskich: 2004 w Atenach (odpadł w półfinale K-1 500 m) oraz 2008 w Pekinie (6. miejsce w finale K-4 1000 m).
Czterokrotnie zdobywał medale mistrzostw świata seniorów, dwukrotnie krążki mistrzostw Europy seniorów. Szesnaście razy był mistrzem Polski. Jako junior był brązowym medalistą mistrzostw Europy i mistrzostw świata.
Paweł Baumann zginął tragicznie, w wyniku nieszczęśliwego wypadku - poślizgnął się na schodach na budowie. Miał 33 lata.
