Dr Piotr Płeszka związany jest z bydgoskim szpitalem Biziela od początku swojej kariery zawodowej. Po ukończeniu w 1996 roku Wydziału Lekarskiego Akademii Medycznej w Bydgoszczy rozpoczął staż podyplomowy w ówczesnym Szpitalu Wojewódzkim im. dr. J. Biziela. Tutaj też w latach 1997-2005 odbył staże specjalizacyjne I oraz II stopnia z neurologii.
Jak informuje szpital Biziela, w kolejnych latach pełnił funkcje asystenta w Centrum Interwencyjnego Leczenia Udarów Mózgu Kliniki Neurochirurgii i Neurologii oraz zastępcy lekarza kierującego Oddziałem Neurologii.
W trakcie swojej kariery zawodowej dr n. med. Piotr Płeszka prowadził również wykłady z neurologii na kursach specjalizacyjnych (w latach 2005-2006) oraz ćwiczenia i seminarium w zakresie neurologii na Akademii Medycznej w Bydgoszczy, a następnie CM UMK (w latach 2001-2002 oraz 2010-2011).
